x ( (Problemas resueltos) ( puntos ) x c 1 En la ecuacin de Laplace, la funcin desconocida u tiene dos variables independientes x y y. 2 ( ( Si la desigualdad anterior se cumple para cada punto (x,y)(x,y) en el dominio de f,f, entonces ff tiene un mximo global (tambin llamado mximo absoluto) en (x0,y0).(x0,y0). << /S /GoTo /D (subsection.5.1) >> 2 El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . y y cos Ejemplos de funciones de varias variables. y = c , y El mtodo para hallar el dominio de una funcin de ms de dos variables es anlogo al mtodo para funciones de una o dos variables. = Dada la funcin f(x,y)=8+8x4y4x2 y2 ,f(x,y)=8+8x4y4x2 y2 , halle la curva de nivel correspondiente a c=0.c=0. 5 ( Un conjunto est delimitado si todos los puntos de ese conjunto pueden estar contenidos en una bola (o disco) de radio finito. Las ideas principales de hallar puntos crticos y utilizar pruebas derivadas siguen siendo vlidas, pero aparecen giros inesperados al evaluar los resultados. A continuacin, elevamos al cuadrado ambos lados y multiplicamos ambos lados de la ecuacin por 1:1: Ahora, reordenamos los trminos, poniendo los trminos xx juntos y los trminos yy juntos, y aadimos 88 a cada lado: A continuacin, agrupamos los pares de trminos que contienen la misma variable entre parntesis, y factorizamos 44 del primer par: A continuacin, completamos el cuadrado en cada par de parntesis y aadimos el valor correcto al lado derecho: A continuacin, factorizamos el lado izquierdo y simplificamos el lado derecho: Por ltimo, dividimos ambos lados entre 16:16: Esta ecuacin describe una elipse centrada en (1,2).(1,2). parciales (es decir, que existen) en un 3 4 , , 13 0 obj superficie presenta un mximo con respecto a una direccin y un mnimo con respecto a la direccin perpendicular. Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada pgina fsica la siguiente atribucin: Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la pgina digital la siguiente atribucin: Utilice la siguiente informacin para crear una cita. f y + 3, f y 4 (3,32 ). 2 ( ) ) y >> endobj ( g x ( x + , La prueba de la segunda derivada para una funcin de dos variables, enunciada en el siguiente teorema, utiliza un discriminante DD que sustituye a f(x0)f(x0) en la prueba de la segunda derivada para una funcin de una variable. Calcule W(2 ,1),W(2 ,1), W(3,6).W(3,6). y ) y 2 endobj ( = , 13 Condiciones Suficientes para la existencia de extremos locales de funciones . Sin embargo, cuando la funcin tiene tres variables, las curvas se convierten en superficies, por lo que podemos definir superficies de nivel para funciones de tres variables. ( + y , Exprese TT en funcin de xyy.xyy. ln El punto (x0,y0)(x0,y0) se llama punto crtico de una funcin de dos variables ff si se cumple una de las dos condiciones siguientes: Halle los puntos crticos de cada una de las siguientes funciones: Halle el punto crtico de la funcin f(x,y)=x3+2 xy2 x4y.f(x,y)=x3+2 xy2 x4y. 1 ) 2, f 5 x en el dominio definido por 0x2 0x2 y 1y3.1y3. , = kd7,qWc(1h,&x*LuYu.}mVN2FesI'uy9X_B((7 5Euo"=i '7lqQ^ x El dominio de ff se compone de pares de coordenadas (x,y)(x,y) que producen una ganancia no negativa: Se trata de un disco de radio 44 centrado en (3,2 ). 2 9 + y , 4 Cules son el dominio y el rango de f?f? ( y (crditos: modificacin del trabajo de oatsy40, Flickr). ) En este caso, es equivalente buscar los extremos de la funcion f(x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2, ya que si tenemos un punto que es extremo de f, tambien lo es de g. Debemos considerar dos multiplicadores de Lagrange, dado que hay dos restricciones: f = 1 g 1 + 2 g 2 . El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . 2, f y f ( Las curvas de nivel siempre se grafican en el plano xy,xy, pero como su nombre indica, las trazas verticales se grafican en los planos xzxz o yz.yz. Cada lnea de contorno corresponde a los puntos del mapa que tienen igual elevacin (Figura 4.7). g(x,y)=y2 arctanx,P(1,2 )g(x,y)=y2 arctanx,P(1,2 ) grandes. Halle las curvas de nivel para T=40C yT=100C,T=40C yT=100C, y describa lo que representan las curvas de nivel. = y Estas curvas aparecen en las intersecciones de la superficie con los planos x=4,x=0,x=4x=4,x=0,x=4 en tanto que y=4,y=0,y=4y=4,y=0,y=4 como se muestra en la siguiente figura. y ) x y y 2 4 = ( /Subtype /Image , Un tanque de oxgeno est construido con un cilindro recto de altura yy, y el radio xx con dos hemisferios de radio xx montado en la parte superior e inferior del cilindro. 2 ( Para las funciones de dos o ms variables, el concepto es esencialmente el mismo, excepto por el hecho de que ahora estamos trabajando con derivadas parciales. = ) cos x y 2 4 y debe atribuir a OpenStax. , ) 2 x para cualquier z<16,z<16, podemos resolver la ecuacin f(x,y)=z:f(x,y)=z: Dado que z<16,z<16, sabemos que 16z>0,16z>0, por lo que la ecuacin anterior describe un crculo de radio 16z16z centrado en el punto (3,2 ). + Dada la funcin z=f(x,y),z=f(x,y), el punto (x0,y0,f(x0,y0))(x0,y0,f(x0,y0)) es un punto de silla si fx(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0 y fy(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0, pero ff no tienen un extremo local en (x0,y0).(x0,y0). y x y Reconocer una funcin de tres o ms variables e identificar sus superficies de nivel. w !1AQaq"2B #3Rbr = x + extremo con respecto a los puntos cercanos. 22 0 obj << z 2 y = + %PDF-1.5 2 De forma similar, podemos sustituir los valores de y y en la ecuacin f(x,y)f(x,y) para obtener las trazas en el plano yz,yz, como se indica en la siguiente tabla. x La principal diferencia es que, en vez de aplicar valores de una variable a valores de otra variable, asignamos pares ordenados de variables a otra variable. 2 Consulte el problema anterior. f(x,y)=xyx3y;f(x,y)=xyx3y; RR es la regin triangular con vrtices (0,0),(0,4),y(5,0).(0,0),(0,4),y(5,0). , y = z 2 x = cos ) Teorema 1 | Demostracin 1 | Ejemplo 1 | Ejemplo 2 | Ejemplo 3 | Observaciones |. ) %PDF-1.5 ,n. Los puntos solucin de este sistema de necuaciones con n incgnitas se denominan puntos crticos. ) Extremos ejercicios resueltos - Extremos de funciones de varias variables 1.- Se va a construir un - Studocu ejecicios resueltos extremos de funciones de varias variables se va construir un almacn de 500 m3 de volumen con forma de paraleleppedo. 2 x , , x y ) Nuestra misin es mejorar el acceso a la educacin y el aprendizaje para todos. y x ) Si los valores de c=3,c=3, entonces el crculo tiene radio 0,0, por lo que consiste nicamente en el origen. + y ) 2 x 2 Supongamos que fx(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0 y fy(x0,y0)=0.fy(x0,y0)=0. z x x x = 75 2 y ( 1999-2023, Rice University. 4 2 2 + ) Desea citar, compartir o modificar este libro? , + + y , y ( 2 2 y x 4 2 Los dems valores de zz aparecen en la siguiente tabla. Para determinar el ltimo punto crtico necesitamos saber el signo de. y Tema: Funciones de varias variables Ejercicios resueltos Curvas de nivel 6.La siguiente tabla muestra el ndice de calor (en F) como una funci on de la temperatura y la humedad. , f Por lo tanto (21,3)(21,3) es un punto crtico de f.f. 4 x = y y x 9 y En los siguientes ejercicios, halle una ecuacin de la curva de nivel de ff que contiene el punto P.P. y 2 9, f Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables definida en un conjunto abierto que contiene el punto (x0,y0).(x0,y0).